بااینکهاثباتهایگوناگون و جالبیبرایقضایایهمرسیارتفاعها و میانههایمثلثوجوددارند،ولی بهنظرنمیرسدکه برهانهاییمبتنیبرمکانهایهندسی برایاینقضایا قبلاًارایهشدهباشند.دراینمقاله،ماایندوقضیهرابااستفادهازمکانهایهندسیثابتمیکنیم بدینصورتکهنخستنشانمیدهیمهرارتفاع و هرمیانهمثلثیکمکانهندسیازنقاطیجالبدرصفحهیادرونمثلثهست و سپسبااستفادهازاینمطلب،برهانیبرهمرسیسهارتفاع و سهمیانهمیآوریم. باهمینروش،برهانهاییبرایقضیههایکارنو و سِواارایهمیدهیم.
